Nachfolgeroperator

Der Nachfolgeroperator, auch Nachfolgerfunktion oder Nachfolger, ist ein eindimensionaler Operator in der Mathematik, der jedem Element seine unmittelbare Nachfolge zuordnet. In der natürlichen Zahlenfolge wird er üblicherweise durch S(n) = n + 1 beschrieben. In der Ordinal- und Mengenlehre bezeichnet der Nachfolger eines Ordinals α das Ordinal α + 1, das sich formal als α ∪ {α} darstellen lässt.

Domänen und Bedeutung: Der Nachfolger lässt sich auf verschiedene Strukturen anwenden. In den natürlichen Zahlen ist S eine injektive Abbildung von N nach N, deren Bild alle natürlichen Zahlen größer als 0 umfasst. In der Ordinallehre ordnet α → α + 1 jedem Ordinal α seinen Nachfolger zu; damit liefert jeder ordinalunabhängige Nachfolger eine direkte Fortsetzung der Ordinalfolge. Ein limitiertes Ordinal ist kein Nachfolger eines anderen Ordnals, alle anderen Ordinalzahlen besitzen einen Nachfolger.

Eigenschaften und Axiome: Der Nachfolger ist eine injektive Abbildung und hat kein Element im Bild von S, das gleich 0 wäre (S(n) = m impliziert n = m − 1 nur für m > 0). In den Peano-Axiomen dient der Nachfolger als grundlegender Operator neben der Null, mit Induktionsprinzip und weiteren Eigenschaften wie der Neutralkomponente der Addition. Der Vorgänger-Operator ist als partielle Umkehrung von S definiert und gilt für alle n > 0.

Beispiele und Anwendungen: S(0) = 1, S(5) = 6. In der Ordinalarithmetik ist der Nachfolger α + 1 immer ein Nachfolgerordinal; ein Limitordinal besitzt keinen direkten Nachfolger im Sinne eines Vorgängers. Der Nachfolgeroperator spielt eine zentrale Rolle in Beweisen durch Induktion, in der formalen Beschreibung von Zähllogik und in der Programmierung als Iterationsschritt.

Siehe auch: Peano-Axiome, Nachfolgerfunktion, Ordnale, natürliche Zahlen, Vorgänger.