Näherungsfunktion

Eine Näherungsfunktion ist eine Funktion, die eine unbekannte oder komplexe Zielgröße durch eine einfachere Funktionsform annähert. Sie dient dazu, das Verhalten einer Originalfunktion f in einem bestimmten Bereich D zu approximieren, meist mit geringem Rechenaufwand oder erhöhter Stabilität gegenüber Datenrauschen oder Messungen.

Zu den gängigen Verfahren gehören Taylor- bzw. Maclaurin-Näherungen, Polynom- und Splinennäherungen sowie Padé-Approximationen. Taylor-Näherungen verwenden Ableitungen am Näherungspunkt, Polynom- und Interpolationsnäherungen modellieren das Verhalten durch Polynome, Splines liefern glatte, stückweise polynomielle Näherungen. Ziel ist es oft, eine einfache Funktion zu wählen, die das Verhalten der Zielgröße gut beschreibt, insbesondere in der Nähe eines bestimmten Punktes oder über ein Intervall.

Fehler und Konvergenz: Der Abbildungsfehler lässt sich oft durch Normen messen (z. B. Maximum-Norm oder L2). Die Ordnung der Näherung gibt an, wie schnell der Fehler mit zunehmender Gradwahl oder mit wachsender Datenmenge verschwindet. In der Praxis ergeben sich Trade-offs zwischen Genauigkeit, Stabilität und Rechenaufwand.

Anwendungsbereiche sind numerische Berechnungen, Datenanpassung, Simulationen, Computergraphik sowie Physik- und Ingenieurwissenschaften, wo exakte Ausdrücke zu komplex oder teuer sind. Typische Beispiele schließen lineare Näherungen, Polynom- und Splinenäherungen sowie weitere Approximationen wie Fourier- oder Padé-Ansätze ein.

Siehe auch: Approximationstheorie, Polynomiale Interpolation, Taylor-Reihe, Least-Squares, Splines, Padé-Approximation.