Näherungen

Näherungen bezeichnen in Wissenschaft und Mathematik Aussagen oder Verfahren, die eine exakte Größe durch eine annähernde Größe ersetzen, mit überschaubarem Fehler. Ziel ist Berechenbarkeit, Verständlichkeit und Modellierbarkeit bei komplexen Systemen. Näherungen werden oft mit Fehlergrenzen beschrieben, und ihre Qualität wird durch Konvergenz, Ordnung oder Schranken angegeben.

Arten der Näherung: Analytische Näherungen verwenden Taylor- oder Maclaurinreihen, um Funktionen in der Nähe eines Punktes durch Polynome oder rationale Funktionen zu approximieren. Numerische Näherungen setzen Algorithmen ein, die numerische Werte liefern, wie Newton-Verfahren zur Gleichungslösung, das Bisection-Verfahren, numerische Integration mittels Trapezregel oder Romberg, oder Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen wie das Finite-Elemente-Verfahren. Funktionale und spektrale Näherungen beschreiben Funktionen durch Orthonormalbasen wie Fourier- oder Legendre-Reihen; rationale Näherungen wie Padé. Asymptotische Näherungen liefern Approximationen für kleine oder große Parameterwerte, oft mit führenden Termen. Stochastische Näherungen beruhen auf Wahrscheinlichkeitsannahmen, z. B. Normal- oder Poisson-Näherungen.

Fehleranalyse: Die Abweichung vom exakten Wert wird durch Restglieder, Konvergenzordnung und Big-O-Notation charakterisiert; oft wird eine Fehlerschranke angegeben.

Anwendung: In Wissenschaft und Technik dienen Näherungen dazu, Modelle berechenbar zu halten, komplexe Probleme lösbar und Ergebnisse interpretierbar zu machen. Historisch spielen Entwicklungen in Analysis und Numerik eine zentrale Rolle; wichtige Beiträge kamen von Newton, de Moivre, Ramanujan, und der Entwicklung der Numerik im 19. und 20. Jahrhundert.