Multistegmetoder

Multistegmetoder, eller multistep methods, är numeriska metoder för att lösa initial värde-problem dy/dt = f(t, y), y(t0) = y0. De beräknar nästa värde y_{n+1} med hjälp av en linjär kombination av flera redan kända värden y_n, y_{n-1}, ..., samt eventuellt f-utvärderingar vid tidigare tidpunkter. En vanlig explicit form är y_{n+1} = y_n + h sum_{j=0}^{m-1} b_j f(t_{n-j}, y_{n-j}). Generellt kan en linjär multistep-metod skrivas som y_{n+1} = sum_i α_i y_{n-i} + h sum_i β_i f(t_{n-i}, y_{n-i}). Koefficienterna avgör ordningen och stabiliteten.

Dessa metoder är inte självstartande; de första m stegen måste erhållas med en annan metod, ofta en Runge-Kutta- eller en lägre ordningens multistep-metod.

Två huvudsakliga familjer är explicit Adams-Bashforth-metoder (enkla men ofta villkorligt stabila) och implicit Adams-Moulton-metoder (stabila för styva problem). Predictor-corrector-varianten Adams-Bashforth‑Moulton använder en förutsägelse för y_{n+1 och korrigerar sedan med den implicita formeln. Allmänna linjära multistep-metoder (GLMs) omfattar även BDF-metoderna (bakåt-differentieringsformlerna), som är viktiga för styva differentialekvationer.

Stabilitet och noggrannhet: ordningen p är den högsta graden av polynom som metoden exakt integrerar. Konsistens och noll-stabilitet tillsammans garanterar konvergens. Stabilitetsområdet i komplexa planet (för testekvationen y' = λy) beskriver hur stor steglängd som är tillåten; implicita metoder kan vara A-stabila eller L-stabila, vilket är fördelaktigt vid styva problem.

Användning och överväganden: multisteg-metoder ger ofta hög effektivitet för jämna problem och kan använda fasta eller varierande steglängder. De kräver större lagring för att behålla tidigare värden och derivatvärderingar. Dahlquist-teorin säger att vissa ordningar och stabilitetskrav inte kan uppnås samtidigt för explicita metoder, medan BDF-metoderna är populära vid styva problem tack vare deras starka stabilitetsegenskaper.