Monikertafunktioita

Monikertafunktioita ovat matematiikassa käytettyjä käsidekkejä, jotka kuvaavat funktion nollakohtien tai arvon vanhenemisen kertalukua tietyissä pisteissä. Yleensä tarkastellaan funktiota f määritellyllä alueella ja pistettä p. Määritelmän ydin on ord_p(f), joka on suurin m ∈ N ∪ {∞} sellainen, että lähistöllä p pätee f(z) = (z−p)^m g(z) missä g(p) ≠ 0 (jos f ei ole identtisesti nolla lähialueellaan, ord_p(f) on määritelty ja on vähintään 0). Monikertafunktio m_p = ord_p(f) antaa kullekin pisteelle p kertaluvun, jolla f vanhenee tai nollautuu siellä.

Monikertafunktioita yhdistetään usein sellaisiin ominaisuuksiin kuin:

- ord_p(fg) = ord_p(f) + ord_p(g);

- ord_p(f^k) = k · ord_p(f);

- ord_p(f+g) ≥ min(ord_p(f), ord_p(g)), ja tasa-arvo pätee, kun ord_p(f) ≠ ord_p(g).

Näiden ominaisuuksien avulla voidaan analysoida nollakohtien jakautumista ja kertalukuja, sekä rakentaa käsitteitä kuten jakaja (divisor) ja arvonmenetyksen paikka algebraic geometryssa ja kompleksianalyysissä.

Esimerkit:

- f(z) = z^5; ord_0(f) = 5 ja ord_p(f) = 0 kaikille muille p.

- f(z) = (z−a)^m (z−b)^n h(z) sellaisella, että h(a) ≠ 0; ord_a(f) = m.

Sovellukset kattavat nollakohtien kertaluvujen käyttöä polynomien ja transformaation analysoinnissa, sekä laajemmassa mielessä vanhentumisen (vanishing) tutkinnan, divisor- ja valuation-käsitteet sekä parametrisoitujen perheiden juurien lähikontaktien kuvauksen. Lisätietoa löytyy käsitteistä nollakohtien kertaluvut, jakajat ja valuations, sekä polynomien ja merkkien nollakohtien analyysistä.