Momentvillkor

Momentvillkor är ekvationer som beskriver att vissa populationens förväntade värden av funktioner av data och modellens parametrar är lika med noll. De utgår från att E[g(X, θ0)] = 0 där X är observationer, θ0 är den sanna parametervektorn, och g är en eller flera funktioner som fångar teorin eller antagandena bakom modellen. Momentvillkor används ofta när en fullständig sannolikhetsfördelning inte behöver specificeras, eller när man vill utnyttja teoretiska restriktioner som förväntade medel eller auto-kovarianser.

Praktisk användning sker via sample-moment: m_n(θ) = (1/n) ∑ g(X_i, θ). Vid exakt identifiering används ofta lösningen av m_n(θ) = 0 för θ. Om modellen är överidentifierad (fler moment än parametrar) löses θ vanligtvis genom att minimera en viktad kvadrat av momenten: min_θ m_n(θ)' W m_n(θ), där W är en viktmatris, vanligtvis baserad på variansen av g.

Egenskaper och utökningar: GMM är en vanlig ram för att arbeta med momentvillkor. Under lämpliga regularitetsvillkor är GMM-estimatorer konsekventa och asymptotiskt normala; effektivitet uppnås med optimal viktmatris W ∝ Var(g(X, θ0))^{-1}. Överidentifikation kan testas med J-testet (ouidiffensialitetstest) för att utvärdera om extra moment är förenliga med data.

Exempel: OLS kan ses som ett momentanvillkorsproblem E[(Y − Xβ)X] = 0. Instrumentvariabler används när E[Z(Y − Xβ)] = 0 med Z som instrument, vilket ger IV/2SLS-estimation. Momentvillkor används också i dynamiska modeller och paneldata.