Minvärden

Minvärden är de lägsta värden som en funktion uppnår på sin domän. Värdet kallas minvärde och punkterna där det uppnås kallas minimipunkter. Om flera punkter ger samma låga värde talar man om flera minimipunkter och därmed flera minvärden.

En uppdelning brukar göras mellan globalt (absolut) minvärde och lokalt minvärde. Ett globalt minvärde är det lägsta värdet av f över hela domänen X, dvs f(x) ≤ f(y) för alla y i X. Ett lokalt minvärde är en punkt x* där f(x*) ≤ f(x) gäller inom en liten omgivning kring x*. Det minsta värdet som uppnås i en närliggande omgivning kallas lokalt minvärde.

Existerande minvärden och begreppet infimum är viktiga i analys. Om domänen är kompakt och funktionen är kontinuerlig finns ett globalt minvärde enligt extremvärdesteoremet. Om funktionen saknar globalt minvärde kan dess infimum finnas men inte uppnås av någon punkt. I oändliga eller otrevliga domäner kan minvärde alltså saknas även om funktionsvärdena kommer arbiträrt nära ett värde.

Hur man hittar minvärden beror på problemet. Vid differentiabla funktioner används kritiska punkter där derivatan (gradienten) är noll eller inte existerar; för dessa punkter undersöks lokala beteenden med andra derivatetester eller Hessian. Vid krav på begränsningar används Lagrange-multiplikatorer. I konvexa problem är varje lokalt minimum också globalt. I praktiken används även diskreta metoder som heltalsoptimering eller dynamisk programmering för att hitta minvärden i diskreta sammanhang.

Vanliga exempel: f(x) = (x−2)^2 har globalt minvärde 0 vid x=2. Funktionen sin(x) har globalt minvärde −1 vid vissa x, medan e^x inte har något globalt minvärde på hela R (infimum är 0 men uppnådds inte). Minvärden är centrala i optimering och olika tillämpningar i ekonomi, fysik och statistik.