Mehrfachquerschnitte

Mehrfachquerschnitte bezeichnet in der Geometrie die Folge oder Gesamtheit von Querschnitten eines Körpers, die durch eine Familie von Ebenen oder durch mehrere Schnitte erzeugt werden. Sie ermöglichen die Analyse der inneren Struktur eines Objekts, indem man es in eine Reihe von zweidimensionalen Schnitten zerlegt.

Formal lässt sich ein dreidimensionaler Körper S ⊂ R^3 betrachten. Sei F eine Familie von Ebenen π(t) parameterisiert durch t aus einem Definitionsbereich T. Der Querschnitt C(t) des Körpers mit der Ebene π(t) ist C(t) = S ∩ π(t). Die Menge oder der Satz aller solchen Querschnitte {C(t) | t ∈ T} bezeichnet man als Mehrfachquerschnitte von S in Bezug auf F. Je nach Wahl der Ebenen ergeben sich verschiedene Arten von Schnitten, etwa Schnitte parallel zu einer Achse, oder Schnitte in unterschiedlichen Richtungen.

Anwendungen finden sich in der Geometrie, der Tomografie, der Materialanalyse und der technischen Visualisierung. In der Geometrie dient die Betrachtung von Mehrfachquerschnitten oft der Bestimmung von Volumen und Oberflächen durch Integrationsprinzipien wie dem Cavalieri-Prinzip. In der Tomografie ergeben sich aus vielen Querschnitten zwei- oder mehrschichtige Darstellungen der Innenstruktur eines Objekts, was zur Rekonstruktion von Bilddaten genutzt wird. Praktisch liefern Mehrfachquerschnitte auch anschauliche Einsichten in Form, Symmetrie und Materialeigenschaften eines Körpers.

Beispiele reichen von Kugeln, deren Querschnitte kreisförmig variieren, bis zu Zylindern, bei denen parallele Schnitte konstante Kreisseiten liefern. Die Analyse von Mehrfachquerschnitten ist ein grundlegendes Werkzeug zur Charakterisierung geometrischer Objekte.