Maßstabsveränderungen

Maßstabsveränderungen bezeichnen die Veränderung der Größe eines Objekts oder Abbilds, ohne notwendigerweise andere Gegebenheiten wie die Form grundlegend zu ändern. In der Geometrie beschreibt sie eine Skalierung, bei der alle Abstände proportional multipliziert werden.

Bei einer uniformen Skalierung wird jeder Vektor x durch die Transformation T_s(x) = s x transformiert. Ein Faktor s>1 vergrößert, 0<s<1 verkleinert; s<0 bewirkt eine Spiegelung der Orientierung.

Bei der anisotropen (nicht-uniformen) Skalierung unterscheidet man verschiedene Faktoren entlang der Koordinatenachsen: T_D(x) = D x, D = diag(a,b) in 2D oder diag(a,b,c) in 3D. Hier werden Abstände in den x- und/oder y-/z-Richtungen unterschiedlich skaliert, was Form und Proportionen verzerren kann.

Maßstabsveränderungen spielen besonders in Kartografie, technischen Zeichnungen, Architektur, Grafik und Bildbearbeitung eine Rolle. Ein Maßstab von 1:100 bedeutet, dass 1 Einheit auf der Abbildung 100 Einheiten in der Realität entspricht; beim Ändern des Maßstabs vergrößert oder verkleinert sich das Abbild proportional.

Wichtige Eigenschaften: Uniforme Skalierung bewahrt Proportionen, Winkel und Formen bis auf Verhältnis; Flächen und Volumen skalieren entsprechend (Flächenfaktor s^2, Volumenfaktor s^3). Nicht-uniforme Skalierung verzerrt Formen und kann Winkel verändern. Negative Faktoren erzeugen zusätzlich eine Spiegelung.

Anwendungen umfassen Transformationspipelines in CAD, Computer Graphics, GIS, Bildbearbeitung und Modellentwicklung.