Matriseprodukt

Matriseprodukt, auch Matrixprodukt genannt, bezeichnet in der linearen Algebra die Multiplikation zweier Matrizen zu einer neuen Matrix. Wenn A eine m×n-Matrix und B eine n×p-Matrix ist, dann ist das Produkt AB eine m×p-Matrix. Das (i, j)-te Element von AB erhält man als das Skalarprodukt der i-ten Zeile von A mit der j-ten Spalte von B: (AB)_{ij} = ∑_{k=1}^n A_{ik} B_{kj}.

Das Matrizeprodukt wird oft mit AB oder A·B bezeichnet. Grundlegende Eigenschaften sind: Es ist im Allgemeinen nicht kommutativ (AB ≠ BA), wohl aber assoziativ (A(BC) = (AB)C) und distributiv über Addition (A(B+C) = AB + AC, (A+B)C = AC + BC). Ist A quadratisch und invertierbar, dann ist AB ebenfalls invertierbar und (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} (unter der Voraussetzung, dass beide Matrizen invertierbar sind).

Der Rang eines Produktes erfüllt rank(AB) ≤ min(rank(A), rank(B)); Gleichheit hängt von den konkreten Matrizen ab. Die Standardberechnung hat eine Komplexität von O(mnp); es gibt fortgeschrittene Algorithmen wie Strassen, die asymptotisch besser, aber oft komplizierter in der Implementierung sind.

Anwendungen des Matrizeprodukts finden sich in der Beschreibung linearer Transformationen, der Lösung linearer Gleichungssysteme, der Bild- und Grafikverarbeitung, dem maschinellen Lernen sowie in zahlreichen Bereichen der Natur- und Ingenieurswissenschaften, wo sich die Wirkung mehrerer Transformationen durch eine einzige Matrixmultiplikation zusammensetzen lässt. Beispiel: Mit A = [[1,2],[3,4]] und B = [[5,6],[7,8]] ergibt AB = [[19,22],[43,50]].