Marginaltätheter

Marginaltätheter är inom sannolikhetsteori och statistik funktioner som beskriver sannolikhetsfördelningen för en variabel eller en delmängd av variabler i en gemensam fördelning. De fås genom att "glömma" de övriga variablerna genom integration eller summering.

För kontinuerliga variabler erhålls marginaltätheten genom att integrera den gemensamma tätheten över de övriga variablerna: f_X(x) = ∫ f_{X,Y}(x,y) dy, där integrationen tas över alla möjliga värden på y. För diskreta variabler erhålls marginalfördelningen genom att summera över de övriga variablerna: P(X=x) = Σ_y P(X=x, Y=y). Marginaltätheter/marginalfördelningar är normaliserade, dvs. ∫ f_X(x) dx = 1 eller Σ_x P(X=x) = 1.

Relation till villkorsfördelningar: gemensamma fördelningen upphör inte att existera när man tar marginalerna, och man har f_{X|Y}(x|y) = f_{X,Y}(x,y)/f_Y(y) när f_Y(y) är definierad. Marginalerna används alltså för att få en sammanfattning av en variabels distribution oberoende av övriga variabler.

Exempel: Om f_{X,Y}(x,y) = e^{-(x+y)} för x≥0 och y≥0 och 0 annars, är f_X(x) = ∫_0^∞ e^{-(x+y)} dy = e^{-x} för x≥0, vilket är en exponentialfördelning med parameter 1. Ett annat exempel är bivariata normalfördelningar där varje variabel har marginalen N(0,1).

Användningar innefattar att beskriva en variabels distribution, beräkna förväntningar och sannolikheter, och som steg i vidare statistisk inferens.