Marginalijakauma

Marginalijakauma tarkoittaa monimutkaisen monimuuttujajakauman sisällä olevan yksittäisen satunnaismuuttujan jakaumaa. Oletetaan, että X1, X2 ja mahdollisesti lisää muuttujia muodostavat yhteisjakauman, jolla on tiheys f(x1, x2, ...) tai todennäköisyysmassataulukko p(x1, x2, ...). Xi:n marginaali saadaan poisjättämällä muut muuttujat: continuous-case f_{Xi}(xi) = ∫…∫ f(x1, x2, ..., xk) dx1 ... dx_{i-1} dx_{i+1} ... dxk. discrete-case p_{Xi}(xi) = ∑ p(x1, x2, ..., xk), summaten kaikilla muilla muuttujilla.

Marginaali voi myös kuvata kumulatiivista jakaumaa, F_{Xi}(x) = P(Xi ≤ x). Continuous-tilanteessa F_{Xi}(x) saadaan F_{Xi}(x) = ∫_{-∞}^{x} f_{Xi}(t) dt, ja diskreetissä tapauksessa F_{Xi}(x) on kertyvä todennäköisyys­todennäköisyysmenetelmällä.

Yhteys yhteisjakaumaan: marginaalit sisältävät yksittäisen muuttujan jakauman, mutta ne eivät yksinään määritä koko monimuuttujajakaumaa. Jos halutaan tietää riippuvuudet kahden muuttujan välillä, on tutkittava yhteisjakaumaa f_{Xi,Xj}(xi,xj). Xi ja Xj ovat riippumattomia, jos yhteisjakauma factorisoituu marginaaleiksi: f_{Xi,Xj}(xi,xj) = f_{Xi}(xi) f_{Xj}(xj).

Esimerkki: Jos X and Y ovat yhteisjakaumaa f(x,y) = e^{-(x+y)} for x>0, y>0, marginaali X:n tiheys on f_X(x) = ∫_0^∞ e^{-(x+y)} dy = e^{-x} (x>0), eli X on Exp(1).

Käytännössä marginaalit voidaan arvioida otannasta esimerkiksi tilastollisilla histogrammeilla tai kernel-density- (jatkuva) sekä suhteellisten frekvenssien kautta. Marginaalit ovat hyödyttäviä, kun halutaan kuvata kunkin muuttujan yksittäisiä ominaisuuksia ilman täysin tunnettua riippuvuusrakennetta.