Mätbara

Mätbarhet är inom matematiken egenskapen hos en mängd eller en funktion att vara mätbar med avseende på en given σ-algebra eller mått. Begreppet är centralt i måttteori och integrering.

En mängd A i X är mätbar om A tillhör en σ-algebra F på X; det vill säga A ∈ F. En funktion f: X → Y mellan två mätbara rum (X, F) och (Y, G) är mätbar om preimage f^{-1}(B) tillhör F för varje B ∈ G. Särskilt när Y = R och G är Borel-sigma-algebra är f mätbar om f^{-1}((-∞, t]) ∈ F för alla t ∈ R.

Exempel: indikatorfunktionen 1_A är mätbar när A ∈ F. Kontinuerliga funktioner är alltid mätbara för varje lämpligt F. Om f och g är mätbara, är compositionen f∘g mätbar. Under vanliga operationer bevaras mätbarhet: summor och produkter av mätbara funktioner är mätbara, och under vissa förutsättningar är även begränsade eller limiterade funktioner mätbara.

Användning och sammanhang: mätbarhet är en förutsättning för Lebesgue-integrering och är central i sannolikhetsteori, där en slumpvariabel är en mätbar funktion från ett sannolikhetsrum till de reella talen. Valet av σ-algebra och mått bestämmer vilka funktioner som är mätbara och därmed vilka som kan integreras eller användas som sannolikhetsvariabler.