Lyapunovyhtälöitä

Lyapunovyhtälöitä ovat joukko yhtälöitä, joita käytetään stokastisen dynamiikan analysointiin ja lineaarisesta vakaudesta epälineaarisissa järjestelmissä. Ne ovat nimetty venäläisen matemaatikon Aleksandr Ljapunovin mukaan. Lyapunovyhtälöitä käytetään laajasti insinööritieteissä, fysiikassa, taloustieteessä ja biologisissa järjestelmissä. Yhtälöt tarjoavat järjestelmän vakauden analysointiin tarvittavia työkaluja ilman, että itse järjestelmän dynamiikkaa tarvitsee ratkaista eksplisiittisesti.

Yleisin muoto Lyapunovyhtälöstä on matriisimuotoinen yhtälö: AP + PA^T + Q = 0, missä A on järjestelmän matriisi, P on symmetrinen positiivisesti definiitti matriisi, A^T on A:n transpoosi, ja Q on symmetrinen positiivisesti definiitti matriisi. Tämän yhtälön ratkaisun P olemassaolo ja ominaisuudet kertovat suoraan alkuperäisen järjestelmän vakaudesta. Jos A on stabiili matriisi (sen ominaisarvojen reaaliosat ovat negatiivisia), tällöin on olemassa yksikäsitteinen positiivisesti definiitti ratkaisu P.

Lyapunovin toista menetelmää, eli Lyapunovin funktioiden etsimistä, käytetään epälineaaristen järjestelmien vakauden tutkimiseen. Lyapunovin funktio on skalaarifunktio, jonka arvo vähenee ajan myötä järjestelmän tilassa. Jos tällainen funktio löydetään ja sen arvo on positiivinen järjestelmän tasapainopisteen ympärillä ja nolla itse tasapainopisteessä, ja sen derivaatta ajan suhteen on negatiivinen, niin järjestelmä on stabiili. Lyapunovyhtälöt tarjoavat systemaattisen tavan etsiä ja analysoida näitä Lyapunovin funktioita. Niiden avulla voidaan määrittää, onko järjestelmä globaalisti tai lokaalisti stabiili.