Lyapunovyhtälöt

Lyapunovyhtälöt ovat joukko yhtälöitä, joita käytetään lineaarisessa järjestelmäanalyysissä. Ne ovat nimetty venäläisen matemaatikon Aleksandr Lyapunovin mukaan. Yleisimmin lyapunovyhtälöitä käytetään järjestelmän stabiilisuuden tutkimiseen.

Yhtä yleisintä lyapunovyhtälöä kuvataan matriisimuodossa: AX + XAᵀ = -Q, missä A on järjestelmän matriisi, X on symmetrinen positiivinen definiitti lyapunovin matriisi ja Q on symmetrinen positiivinen definiitti matriisi. Jos tällainen matriisi X voidaan löytää, järjestelmä on stabiili. Lyapunovyhtälöiden ratkaiseminen antaa tietoa järjestelmän dynamiikasta ja sen reagoinnista eri syötteisiin.

Lyapunovin matriisiyhtälöitä käytetään laajalti insinööritieteissä, erityisesti säätötekniikassa ja dynaamisten järjestelmien analyysissä. Niiden avulla voidaan määrittää, pysyykö järjestelmä tasapainotilassaan vai ajautuuko se pois siitä. Sovelluksia löytyy niin mekaanisten, sähköisten kuin ohjelmistopohjaistenkin järjestelmien analyysissä. Lyapunovyhtälöiden ratkaiseminen voi olla laskennallisesti vaativaa, ja siihen on kehitetty erilaisia numeerisia menetelmiä.