Lutningsfält

Lutningsfält, eller lutningsfältet, är en grafisk representation av en första ordningens differentialekvation dy/dx = f(x, y). I ett område i planet ritas små horisontella linjesegment vid ett rutnät av punkter (x_i, y_j), där varje segment har lutningen lika med f(x_i, y_j). Resultatet är en bild av hur slope dy/dx varierar över planet.

Syftet med lutningsfältet är att ge en visuell förståelse av hur lösningar till differentialekvationen ser ut utan att lösa den analytiskt. Varje lösningskurva i fältet är en integralkurva vars tangent vid varje punkt har samma lutning som f(x, y) där kurvan passerar. På så sätt skildras hur en funktionslösning skulle bete sig lokalt över området.

Relation till initialvärdesproblem och numeriska metoder: Givet ett initialvillkor y(x0) = y0 representar en kurva i fältet som passerar genom punkten (x0, y0). Under välvillkor (till exempel Lipschitz‑villkor) finns oftast en unik lösning som går igenom den punkten. Fältet används också som grund för numeriska metoder, som Eulers metod, där varje steg baseras på sluttningen i lutningen vid aktuell punkt.

Begränsningar och användning: Lutningsfältet ger en kvalitativ och visuell bild av dynamiken hos ODE:n och används ofta i undervisning och vid snabb bedömning av beteenden som till exempel stabilitet och jämvikter (punkter där dy/dx = 0). Det ger dock inte exakta lösningar utan fungerar som ett verktyg för uppfattning och skissning av lösningar.

Exempel: för dy/dx = x − y är lutningen vid varje punkt given av x − y, vilket skapar ett fält där kurvorna tenderar att nosa mot linjen y = x. Lutningsfält används ofta tillsammans med begrepp som riktningfält och fält av lutningar.