Logperiodisch

Logperiodisch, oder log-periodisch, bezeichnet eine Eigenschaft von Systemen oder Signalen, bei der sich Muster wiederholen, wenn die betrachtete Größe geometrisch skaliert wird. Das bedeutet, dass Abstände oder Zeitpunkte, an denen ähnliche Strukturen auftreten, sich durch einen festen Faktor λ > 1 vervielfachen. Solche Muster entstehen durch diskrete Skaleninvarianz (DSI) statt durch kontinuierliche Skalierung.

Mathematisch zeigen sich logperiodische Effekte oft als Fluktuationen, die sich als cos(ω log x) in eine Grundskala einfügen. Eine typische Form einer Funktion f(x) lautet f(x) ≈ x^α [1 + A cos(ω log x) + …]. Der Parameter ω hängt mit dem Skalierungsfaktor λ zusammen via ω = 2π / log λ (log gilt hier als natürlicher Logarithmus). Dadurch erscheinen die Oszillationen in einem Diagramm gegen log x periodisch.

Anwendungen und Kontext: In der Physik treten logperiodische Muster in Systemen mit diskreter Skaleninvarianz auf, beispielsweise nahe kritischen Punkten, in Fraktalstrukturen oder beim Bruchverhalten von Materialien. In der Finanzmarkttheorie wurde das log-periodische Power-Law-Modell (LPPL) verwendet, um spekulative Blasen und Marktcrashes durch sich wiederholende Muster nahe einer kritischen Zeit zu beschreiben. In der Ingenieurtechnik ist die logperiodische Dipolantenne (LPDA) verbreitet, deren Elemente in geometrischer Folge length scales, um ein breites Frequenzspektrum zu ermöglichen.

Siehe auch: Diskrete Skaleninvarianz, Logarithmische Skalen, LPPL-Modell.