Logarytm

Logarytm (logarytm) w matematyce jest odwrotnością potęgowania. Dla podstawy b > 0, b ≠ 1 oraz dodatniego x istnieje liczba y taka, że b^y = x. W ten sposób logarytm określa wykładnik, jaki trzeba zastosować do podstawy, aby uzyskać daną wartość x. Notacja log_b(x) oznacza logarytm o podstawie b.

Definicja i domena: logarytm log_b(x) zdefiniowany jest dla x > 0 i dla każdej dodatniej podstawy b > 0, b ≠ 1. Najczęściej używane notacje to log_b(x); log(x) odnosi się do logarytmu dziesiętnego (o podstawie 10), a ln oznacza logarytm naturalny o podstawie e.

Właściwości: log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y); log_b(x/y) = log_b(x) − log_b(y); log_b(x^c) = c log_b(x). Zmiana podstawy: log_b(x) = log_k(x) / log_k(b) dla każdej dodatniej podstawy k. Log_b(1) = 0 i log_b(b) = 1. Funkcja logarytmiczna jest rosnąca dla b > 1 i malejąca dla 0 < b < 1. Dziedziną logarytmu jest x > 0.

Zastosowania: logarytmy służą do rozwiązywania równań wykładniczych, modelowania zjawisk o skali logarytmicznej (np. skale dźwięku w decybelach, skala Richtera), analizy złożoności algorytmów (czas często rośnie jako log n), przetwarzania sygnałów i informacji, a także w chemii i fizyce.

Historia: koncepcja logarytmów powstała w XVII wieku dzięki Johnowi Napierowi; rozwinięto je później przez Henry’ego Briggs’a dla logarytmów dziesiętnych, a naturalny logarytm rozwinął Leonhard Euler.