logarytmy

Logarytmy są funkcjami odwrotnymi do potęgowania. Dla podstawy b > 0 i b ≠ 1 log_b(x) jest y takim, że b^y = x. Dziedzina logarytmu to x > 0, a jego zakres to cała zbiór liczb rzeczywistych. Logarytm wskazuje, ile razy trzeba podnieść podstawę do uzyskania danej wartości.

Podstawę logarytmu wyróżnia się ze względu na sposób zachowania. Jeśli baza b > 1, log_b(x) rośnie z x; jeśli 0 < b < 1, log_b(x) maleje. Logarytm jest odwrotnością potęgowania: b^{log_b x} = x oraz log_b(b^x) = x.

Podstawowe reguły logarytmiczne to: log_b(xy) = log_b x + log_b y; log_b(x/y) = log_b x − log_b y; log_b(x^c) = c log_b x. Zmiana bazy zapisuje się jako log_b x = log_k x / log_k b dla każdej dodatniej podstawy k ≠ 1. Szczególne przypadki to log_e x = ln x (log naturalny) i log_10 x = log_10 x (log dziesiętny).

Zastosowania logarytmów obejmują rozwiązywanie równań wykładniczych, przekształcanie danych o szerokim zakresie wartości, skalowanie i analizę danych. W praktyce używane są m.in. skala pH (−log10 stężenia jonów wodoru), skale decybelowe (10 log10 stosunku mocy) oraz transformacje logarytmiczne w statystyce i naukach przyrodniczych. Historia logarytmów wiąże się z pracami Napiera i wprowadzaniem narzędzi ułatwiających obliczenia przed erą kalkulatorów.