logarytmów

Logarytmy to odwrotności funkcji wykładniczych. Definicja: dla podstawy a > 0 i a ≠ 1 log_a(x) jest liczbą y spełniającą równanie a^y = x, przy x > 0. Najczęściej używane podstawy to log naturalny ln x, który ma podstawę e, oraz log dziesiętny log_10(x), często zapisywany jako log x.

Podstawowe własności logarytmów obejmują m.in. log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y), log_a(x^k) = k log_a(x), log_a(x/y) = log_a(x) − log_a(y) oraz log_a(1) = 0. Odwrotnością logarytmu jest funkcja wykładnicza: a^{log_a(x)} = x oraz log_a(a^x) = x.

Podstawa a wpływa na charakter funkcji logarytmicznej: dla a > 1 logarytm rośnie, natomiast dla 0 < a < 1 maleje. Dziedzina logarytmu to x > 0, a wykres ma pionową asymptotę przy x → 0^+. Własności monotoniczności i odwrotności logarytmu znajdują zastosowanie w przekształcaniu równań i analizie funkcji.

Zmiana podstawy: log_b(x) = log_k(x) / log_k(b) dla dowolnej dodatniej podstawy k ≠ 1. Praktycznie najczęściej używa się podstaw 10 i e, ale możliwe jest korzystanie z dowolnej dodatniej podstawy.

Zastosowania obejmują rozwiązywanie równań wykładniczych, mierzenie skali logarytmicznych (np. skala pH, skala decybelowa, skala Richtera) oraz analizę danych w naukach przyrodniczych, informatyce i inżynierii.