Linjeintegraler

Linjeintegraler används inom analys och fysik för att mäta hur ett fält tar värden längs en kurva. Det finns två huvudtyper: linjeintegral av ett skalärfält längs en kurva C och linjeintegral av ett vektorfält längs en kurva C. Linjeintegralet av ett skalärfält f över kurvan C skrivs som ∫_C f ds, där ds är differentialen av arclängden. Om kurvan C parametriserras som r(t) = (x(t), y(t), z(t)) för t i [a, b], är ds = ||r'(t)|| dt och ∫_C f ds = ∫_a^b f(r(t)) ||r'(t)|| dt. Orientering spelar ingen roll här eftersom ds är positivt.

Linjeintegralet av ett vektorfält F längs C ges av ∫_C F · dr = ∫_a^b F(r(t)) · r'(t) dt, där dr = r'(t) dt. Denna integral ändras när kurvans riktning ändras: om kurvan används med motsatt orientering får man motsatt tecken. Om F är konserverande, dvs F = ∇φ, är linjeintegralen mellan två punkter A och B bara φ(B) − φ(A). I så fall är för en sluten kurva ∮_C F · dr lika med noll.

Relationer och tillämpningar: Green’s sats i planet kopplar en linjeintegral ∮_C P dx + Q dy till en dubbel integral över området D inuti C: ∮_C P dx + Q dy = ∬_D (∂Q/∂x − ∂P/∂y) dA. I tredimensionellt utrymme är Stokes sats: ∮_C F · dr = ∬_S (curl F) · n dS, där C är gränsen till ytan S.

Villkor och användning: C antas vara en kurva i planet eller rummet som är styckvis C¹. Linjeintegraler används inom fysik (arbete och energiförändringar), mekanik, elektromagnetism och analys för att studera fält längs en bana.