linjeintegralen

Linjeintegralen, eller integraler längs en kurva, används för att mäta kvantiteter som fördelas längs en given bana i rummet. Det finns två huvudsakliga typer: linjeintegral av en skalär fält längs en kurva och linjeintegral av ett vektorfält längs en kurva.

Låt C vara en kurva i R^n parametrisert av r(t) för t i intervallet [a,b], där r är differentiabel och r'(t) ≠ 0. För en skalär funktion f: R^n → R definieras linjeintegralen längs C som ∫_C f ds = ∫_a^b f(r(t)) ||r'(t)|| dt, där ds är elementet av arclängd. För ett vektorfält F: R^n → R^n är linjeintegralen längs C ∫_C F · dr = ∫_a^b F(r(t)) · r'(t) dt, där dr = r'(t) dt och · betecknar skärningsprodukten (inre produkt).

Egenskaperna inkluderar att den första typen av linjeintegral är oberoende av parametriseringens fart men den andra typen är orienteringskänslig: byter man kurvans riktning ändras tecknet på integralens värde, medan för skalärfallet värdet endast påverkas av kurvans geometry, inte riktning i sig. Om kurvan parametriseras med arclängd s, så att ||r'(s)|| = 1, förenklas uttrycket till ∫ f(s) ds för skalärfallet.

Användningsområden inkluderar arbete som utförs av en kraft F längs en bana C, W = ∫_C F · dr, och beräkning av massa längs en tråd med linjefördelad densitet λ: ∫_C λ ds. Om F är konservativ, F = ∇φ, så beror linjeintegralen endast på ändpunkterna och inte på vägen mellan dem. Linjeintegraler utgör också byggstenar i teorem som Stokes och i olika fysikaliska och geometriska tillämpningar.