Linearfaktoren

Linearfaktoren sind die linearen Faktoren eines Polynoms. In der Algebra bezeichnet man damit Faktoren der Form (x − r), wobei r aus einem Erweiterungsfeld stammen kann. Ist P ∈ F[x] ein Polynom vom Grad n, so heißt P faktorisierbar in Linearfaktoren, wenn P vollständig in Faktoren der Form (x − r_i) aufgeht, wobei jeder r_i mit seiner Vielfachheit auftritt. Die Nullstellen r_i heißen die Nullstellen von P.

Nach dem Fundamentalsatz der Algebra besitzt jedes nicht konstante Polynom über dem Körper C genau n Nullstellen (mit Vielfachheiten). Daraus folgt: Jedes P ∈ C[x] lässt sich eindeutig schreiben als P(x) = a ∏_{i=1}^n (x − α_i). Über dem Realen Feld R können die Nullstellen reell oder komplex konjugiert sein; dann erscheinen lineare Faktoren nur für reale Nullstellen, während Nicht-Reale zu quadratischen, irreduziblen Faktoren führen.

Beispiel: Das Polynom P(x) = x^3 − 3x + 2 faktorisiert als (x − 1)^2(x + 2). Die Nullstellen sind 1 (mit Vielfachheit 2) und −2.

Die Linearfaktoren sind eng mit den Nullstellen verbunden. Durch Vièteformeln lassen sich Koeffizienten des Polynoms aus den Summen und Produkten der Nullstellen ableiten. Sie spielen eine zentrale Rolle in der Polynomzerlegung, Partialbruchzerlegung sowie bei der Lösung von Gleichungen und Differentialgleichungen und in der Spektralzerlegung.

Begrenzungen: Nicht jedes Polynom faktorisiert bereits über dem Ausgangskörper; vollständige Zerlegung kann Erweiterungen erfordern.