Lineaariyhtälöksi

Lineaariyhtälöksi (engl. *linear equation*) viittaa matematiikassa yhtälöön, jossa esiintyvät muuttujat ovat vain ensimmäistä astetta. Yksinkertaisimmillaan lineaariyhtälö sisältää yhden muuttujan, kuten *ax + b = 0*, missä *a* ja *b* ovat vakioita, ja *x* on tuntematon. Ratkaisu tällaiselle yhtälölle on yksinkertainen, sillä se voidaan ratkaista suoralla laskutoimituksella, kuten *x = –b/a*, edellyttäen että *a* ei ole nolla.

Useamman muuttujan tapauksessa lineaariyhtälö esitetään muodossa *a₁x₁ + a₂x₂ + ... + anxₙ = b*, missä *x₁, x₂, ..., xₙ* ovat tuntemattomia ja *a₁, a₂, ..., an, b* ovat vakioita. Lineaariyhtälöitä voidaan yhdistää lineaarisiin yhtälöryhmiin, joiden ratkaiseminen voi vaatia matriisilaskentaa tai eliminaatiomenetelmiä. Lineaariset yhtälöt ovat perusrakenteita lineaarialgebrassa, joka sovelletaan muun muassa fysiikassa, taloustieteessä ja tietojenkäsittelyssä.

Lineaariyhtälöiden ratkaiseminen perustuu periaatteisiin, kuten yhtälön muuntelun sallittavuuteen (kertominen ei-nollalla, yhteen- tai vähennyslaskut). Yhtälöryhmien ratkaisu voi johtaa erilaisiin tilanteisiin: yksikäsitteiseen ratkaisuun, äärettömän monta ratkaisua sisältävään ratkaisujoukkoon tai ratkaisuttomuuteen, jos yhtälöt ovat ristiriidassa. Lineaariyhtälöiden ominaisuudet ja niiden sovellukset ovat keskeisiä monissa matematiikan aloissa.