Limitów

Limitów to pojęcie z zakresu analizy matematycznej opisujące wartość, do której dążą wyrażenia w miarę zbliżania się ich argumentu do określonej wartości lub w miarę wzrostu liczby do nieskończoności. W kontekście funkcji mówimy o limicie funkcji w punkcie a, natomiast w kontekście ciągów o limicie ciągu, gdy n dąża do ∞.

Definicja formalna dla funkcji jest realizowana poprzez pojęcie epsilon-delta. Mówimy, że lim_{x→a} f(x) = L, jeśli dla każdego epsilon > 0 istnieje delta > 0 takie, że 0 < |x − a| < delta implikuje |f(x) − L| < epsilon. Istnieją również limity jednostronne lim_{x→a^−} f(x) i lim_{x→a^+} f(x). Dodatkowo rozróżnia się limity w nieskończoności: lim_{x→∞} f(x) = L (analogicznie lim_{x→−∞} f(x) = L), rozumiane w sensie granic w pracowaniu z rozszerzonymi liczbami rzeczywistymi.

Limity ciągów zdefiniowane są podobnie: lim_{n→∞} a_n = L, jeśli dla każdego epsilon > 0 istnieje N takie, że n ≥ N ⇒ |a_n − L| < epsilon. Prawa tworzenia granic obejmują operacje na limitach: lim(f+g) = lim f + lim g, lim(f·g) = lim f · lim g, a jeśli lim g ≠ 0, to lim(f/g) = lim f / lim g. Granice wiążą się także z ciągłością funkcji: jeśli lim_{x→a} f(x) = f(a), to f jest ciągła w a.

Przykłady: lim_{x→2} (x^2−4)/(x−2) = 4, a lim_{x→0} sin x / x = 1. Niektóre granice nie istnieją z powodu oscylacji lub diverencji. Limity odgrywają kluczową rolę w analizie funkcji, równaniach różniczkowych i zjawiskach fizycznych.