Lebesguekriteriet

Lebeslekriteriet, eller Lebesgue’s kriterium för Riemannintegrationen, är en grundläggande sats inom real analys. Den ger ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att en bunden funktion på ett sluten intervall [a, b] skall vara Riemannintegrerbar: funktionen är Riemannintegrerbar om och endast om mängden dess störningar har Lebesgue-mått noll.

Lebesgue-mått noll betyder att varje epsilon > 0 kan täckas av ett talrikt antal öppna intervall vars sammanlagda längd är mindre än epsilon. Med andra ord är störningsmängden så liten i mått som möjligt, även om den kan vara oändlig eller komplext uppbyggd.

Konsekvenserna är centrala: tillståndet klargör varför många funktioner med viss oregelbundenhet ändå är Riemannintegrerbara. Till exempel är Dirichlets funktion, som är lika med 1 på rationella tal och 0 på irrationella tal, inte Riemannintegrerbar eftersom dess störningsmängd är hela intervallet. Å andra sidan har Thomaes funktion störningar endast vid rationella tal, en mängd som är tämligen liten (tal), och därmed är den Riemannintegrerbar. Allmänt gäller att varje bunden funktion vars störningsmängd har mått noll är Riemannintegrerbar; i synnerhet har varje monoton funktion på [a, b] åtminstone ett antal störningar som är atomer (ofta noll eller talmängd) och är därför integrerbar.

Betydelsen av kriteriet ligger i att binda Riemannintegrationens existens till mått-teoretiska egenskaper och därigenom koppla klassisk analys till måtteori.