Lebesguedichtheidsstelling

De Lebesguedichtheidsstelling is een kernresultaat uit de maat- en reële analyse, genoemd naar Henri Lebesgue, dat beschrijft welke punten van een meetbaar deel van het euclidische ruimte als dichtheidspunten gelden met betrekking tot de Lebesgue-meting.

Stelling. Laat E ⊆ R^n meetbaar zijn en van eindige maat. Voor bijna alle x ∈ E geldt lim_{r→0} m(E ∩ B(x,r)) / m(B(x,r)) = 1. Voor bijna alle x ∉ E geldt lim_{r→0} m(E ∩ B(x,r)) / m(B(x,r)) = 0. Concreet: bijna alle punten van E zijn dichtheidspunten van E, en bijna alle punten buiten E zijn dichtheidspunten van het complement van E.

Relatie met differentiatie. De stelling volgt uit de Lebesgue-differentiatie-stelling: voor elke lokaal ingaafbare functie f geldt lim_{r→0} (1/m(B(x,r))) ∫_{B(x,r)} f(y) dy = f(x) voor bijna alle x. Neem f = 1_E (de karakteristieke functie van E); dan krijg je de genoemde limieten.

Bewijzen en methode. Bewijzen maken veelal gebruik van de Hardy-Littlewood-maximalefunctie en de Vitali-dekkingslemma’s. Er bestaan verschillende varianten, gebaseerd op verschillende differentiatie-bases (ballen, kubussen) en verschillende ruimten.

Algemene context en varianten. De stelling geldt ook in meer algemene contexten: voor differentiatie-bases zoals kubussen of rechthoekige bassen, en in maatruimtes met verdubbelende maten. In dergelijke settings blijft een differentiatie-stelling gelden, wat de notie van dichtheidspunten verder fundeert.

Historisch. De stelling is een klassiek resultaat uit het werk van Lebesgue uit het begin van de 20e eeuw en speelt een centrale rol in analyse en geometrische maatkunde.