LTIsystemer

LTI-systemer, eller lineære tidsinvariante systemer, er en sentral klasse i signalbehandling og kontrollteori. De følger prinsippet om superposisjon: hvis x1 gir y1 og x2 gir y2, vil en kombinasjon av disse inputene gi den tilsvarende kombinasjonen av utgangene. Tidsinvarianse betyr at et forsinket input x(t-t0) gir en tilsvarende forsinket utgang y(t-t0). LTI-systemer kan ha minne (utgangen avhenger av tidligere input) eller være minnefri.

Kontinuerlige LTI-systemer beskrives ofte med en lineær differensialligning der y og x og deres avledede har konstante koeffisienter. Impulsresponsen h(t) er systemets respons på x(t)=delta(t); over tid gir konvolusjonen y(t) = ∫ h(τ) x(t−τ) dτ. Transferfunksjonen er H(s) = Y(s)/X(s), et rasjonalt uttrykk i s som gir frekvensrespons og innputt-i-utgang-tilnærminger.

I frekvensdomenet brukes Fourier-transformasjonen, hvor H(jω) beskriver hvordan systemet responderer på sinusoidale innganger. For diskrete tid- LTI-systemer er analogt y[k] = ∑ h[m] x[k−m], og Z-transformen gir H(z) = Y(z)/X(z). Stabilitet (BIBO) og realiserbarhet er sentrale egenskaper; et system kan også beskrives i state-space-form: x' = Ax + Bu, y = Cx + Du.

Anvendelser inkluderer elektriske kretser som RC- og RLC-kretser, mekaniske systemer som masse–fjær– demper, samt filtrering, signalbehandling og kontroll i kommunikasjon og industriproduksjon. LTI-analyse gir effektiv beregning av tids- og frekvensrespons, samt innsikt i systemets stabilitet og oppførsel.