Käänteismatriiseja

Käänteismatriisi, tunnetaan myös nimellä matriisin inversio, on matriisilaskennan keskeinen käsite. Käänteismatriisi on olemassa vain neliömatriiseille, eli matriiseille, joissa on yhtä monta riviä kuin sarakkeita. Annetulle neliömatriisille A käänteismatriisi, jota merkitään A⁻¹, on sellainen matriisi, että kun se kerrotaan alkuperäisellä matriisilla A joko vasemmalta tai oikealta, tuloksena on identiteettimatriisi I. Identiteettimatriisi on neliömatriisi, jonka diagonaalilla on ykkösiä ja muualla nollia. Matemaattisesti tämä ilmaistaan: AA⁻¹ = A⁻¹A = I.

Käänteismatriisi on yksikäsitteinen; jos matriisilla on käänteismatriisi, se on vain yksi. Kuitenkin kaikki neliömatriisit eivät ole kääntyviä. Neliömatriisi on kääntyvä eli säännöllinen, jos sen determinantti ei ole nolla. Jos matriisin determinantti on nolla, matriisia kutsutaan singulaariseksi tai kääntymättömäksi.

Käänteismatriiseja käytetään useissa sovelluksissa, erityisesti lineaariyhtälöryhmien ratkaisemisessa. Jos meillä on yhtälöryhmä Ax = b, jossa A on kääntyvä kerroinmatriisi, x on tuntemattomien vektori ja b on vakiotermi-vektori, voimme ratkaista x kertomalla molemmat puolet A⁻¹:llä: A⁻¹Ax = A⁻¹b, mikä sievenee muotoon x = A⁻¹b. Käänteismatriiseja hyödynnetään myös esimerkiksi numeerisessa analyysissä ja tietojenkäsittelytieteessä. Käänteismatriisin laskemiseen on olemassa useita algoritmeja, kuten Gauss-Jordanin eliminaatiomenetelmä ja adjungaatin käyttö.