Käänteismatriisin

Käänteismatriisi, joka tunnetaan myös nimellä matriisin käänteinen, on lineaarialgebrassa neliömatriisin käsite. Jos matriisilla A on käänteismatriisi, sitä merkitään usein A⁻¹. Käänteismatriisi A⁻¹ on sellainen matriisi, että kun se kerrotaan alkuperäisellä matriisilla A (tai A kerrottuna A⁻¹), tulokseksi saadaan identiteettimatriisi I. Identiteettimatriisi on neliömatriisi, jonka diagonaalilla on ykkösiä ja muualla nollia.

Kaikilla neliömatriiseilla ei ole käänteismatriisia. Matriisilla on käänteismatriisi vain ja ainoastaan, jos sen determinantti on nollasta poikkeava. Tällöin matriisia kutsutaan kääntyväksi tai epäsingulaariseksi. Jos matriisin determinantti on nolla, matriisia kutsutaan singulaariseksi, eikä sillä ole käänteismatriisia. Kääntyvän matriisin käänteismatriisi on yksikäsitteinen.

Käänteismatriiseilla on useita tärkeitä sovelluksia matematiikassa ja tekniikassa. Niitä käytetään lineaarisia yhtälöryhmiä ratkaistaessa. Jos meillä on yhtälöryhmä Ax = b, missä A on tunnettu neliömatriisi, x on tuntematon vektorimuuttuja ja b on tunnettu vektorivakio, voimme ratkaista x:n kertomalla molemmat puolet A:n käänteismatriisilla: x = A⁻¹b. Käänteismatriiseja hyödynnetään myös esimerkiksi kuvaankäsittelyssä, data-analyysissä ja taloudellisessa mallinnuksessa. Laskentaalgoritmeja, kuten Gaussin eliminointia, voidaan käyttää käänteismatriisin löytämiseen.