käänteismatriisia

Käänteismatriisi on neliömatriisi, jolla on vastinemä A^{-1} siten, että AA^{-1} = A^{-1}A = I, missä I on identiteettimatriisi. Käänteismatriisi esiintyy ainoastaan silloin, kun matriisi A on neliö ja sen determinant det(A) on nollasta poikkeava. Tämän ehdon täyttyessä käänteismatriisi on ainutlaatuinen.

Erityyppiset laskentamenetelmät. Pienille 2×2-matriiseille on kaavan A = [a b; c d], ja sen käänteismatriisi A^{-1} = (1/(ad − bc)) [d −b; −c a], kun det(A) = ad − bc ≠ 0. Yleisessä tapauksessa A^{-1} voidaan määritellä adjugaatitomekon avulla: A^{-1} = (1/det(A)) adj(A), jossa adj(A) on kofaktori- ja siirto-opin perusteella muodostettu adjugato (“cofactor”-matriisi transponoituna). Suoraviivaisesti voidaan myös ratkaista matriisi Gaussian eliminaation avulla suorittamalla [A | I] siirtyminen muotoon [I | A^{-1}].

Ominaisuudet. Inversi on ainutkertainen, jos se existoi. Sijoittamalla yields det(A^{-1}) = 1/det(A). Tämän lisäksi (A^{-1})^T = (A^T)^{-1}. Erikoistapauksessa, jos A on ortogonaali (A^T A = I), niin A^{-1} = A^T. Myös jokainen invertible matrisi säilyttää kertolaskun ominaisuudet siten, että (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}.

Sovellukset. Käänteismatriisia käytetään lineaarijärjestelmien Ax = b ratkaisemiseen, lineaaristen transformaatioden tutkimiseen sekä matriisien diagonaalistamisen ja potensien laskun yhteydessä. Inversi voi olla hyödyllinen, mutta se voi olla herkkä numeerisille virheille, erityisesti epäedullisesti käyttäytyvissä tapauksissa.