Käänteismatriisi

Käänteismatriisi, suomeksi myös matriisin käänteisluku, on lineaarialgebrassa käsite, joka liittyy neliömatriiseihin. Neliömatriisilla A on käänteismatriisi, jota merkitään A⁻¹, jos ja vain jos on olemassa toinen neliömatriisi B siten, että matriisitulot AB ja BA ovat molemmat identiteettimatriisi I. Identiteettimatriisi on neliömatriisi, jonka diagonaalilla on ykkösiä ja muualla nollia. Käänteismatriisin olemassaolo on siis ehto sille, että matriisi on "kääntyvä" eli säännöllinen.

Käänteismatriisi voidaan laskea useilla tavoilla, esimerkiksi Gauss-Jordanin eliminaatiolla tai adjungaatin ja determinantin avulla. Yksi yleinen menetelmä on liittää alkuperäisen matriisin A rinnalle identiteettimatriisi I ja suorittaa rivioperaatioita, kunnes vasemmalla puolella oleva matriisi muuttuu identiteettimatriisiksi. Tällöin oikealla puolella oleva matriisi on alkuperäisen matriisin A käänteismatriisi A⁻¹.

Käänteismatriisi on ainutlaatuinen, jos se on olemassa. Sitä käytetään muun muassa lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisemisessa. Jos meillä on yhtälöryhmä matriisimuodossa AX = B, missä A on kerroinmatriisi, X on tuntemattomien vektori ja B on vakiotermien vektori, ja jos A:lla on käänteismatriisi, voimme ratkaista X kertomalla molemmat puolet vasemmalta A⁻¹:llä: A⁻¹AX = A⁻¹B, josta seuraa X = A⁻¹B. Käänteismatriiseilla on myös sovelluksia muun muassa kryptografiassa ja tietokonegrafiikassa. Kaikilla neliömatriiseilla ei ole käänteismatriisia; esimerkiksi matriisilla, jonka determinantti on nolla, ei ole käänteismatriisia.