Krümmungszeichen

Krümmungszeichen bezeichnet in der Ebene die Orientierung der Krümmung einer Kurve. Es ergänzt den Wert der Krümmung, der grundsätzlich positiv (die Größe der Krümmung) ist, um das Vorzeichen, das die Richtung der Biegung angibt. Das Vorzeichen hängt von der gewählten Orientierung der Kurve ab.

Für eine reguläre Kurve r(t) = (x(t), y(t)) lautet die gerichtete Krümmung κs(t) = (x'(t) y''(t) − y'(t) x''(t)) / (x'(t)² + y'(t)²)^(3/2). Das Vorzeichen von κs gibt an, ob die Kurve bei einer Zunahme von t nach links (positive Krümmung) oder nach rechts (negative Krümmung) dreht. Ein Kreis mit Radius R hat bei einer gegen den Uhrzeigersinn gerichteten Orientierung κs = 1/R (konstant positiv).

Für Graphen y = f(x) reduziert sich κs auf κs(x) = f''(x) / (1 + f'(x)²)^(3/2). Hier entspricht das Vorzeichen von κs der Konkavität der Funktion: positiv bedeutet Konkavität nach oben, negativ nach unten. Der Betrag κ = |κs| ist die Krümmungsgeschwindigkeit, unabhängig von der Orientierung.

Inflection Points einer Kurve treten dort auf, wo κs = 0, also dort, wo f''(x) = 0 (für Graphen) bzw. κs(t) = 0.

Zusammenfassung: Das Krümmungszeichen beschreibt, wie eine Kurve relativ zur gewählten Orientierung biegt; es ergänzt die Krümmungsbeträge und erleichtert das Verständnis der Kurvenform, insbesondere bei wechselnder Biegungsrichtung.