Kosinifunktion

Die Kosinusfunktion, meist als cos bezeichnet, ordnet jedem reellen Argument x den Kosinus von x zu. Sie lässt sich als x-Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis definieren: Wenn ein Winkel x im Bogenmaß gemessen wird, entspricht der Punkt auf dem Kreis mit Koordinaten (cos x, sin x). Die Funktion hat Domain R und Wertebereich [-1, 1].

Eigenschaften: kosinus ist eine periodische, gerade Funktion mit Periode 2π. cos(-x) = cos x und cos(x+2π) = cos x. Nullstellen treten bei x = π/2 + kπ auf, maximale Werte bei x = 2kπ mit cos x = 1, minimale Werte bei x = π + 2kπ mit cos x = −1. Die Ableitung ist -sin x; die zweite Ableitung ist -cos x.

Zusätzlich ergibt sich aus der komplexen Exponentialdarstellung cos x = (e^{ix} + e^{-ix})/2. Die Pythagoreische Identität cos^2 x + sin^2 x = 1 verbindet cos und sin. Integrale und Ableitungen: ∂/∂x cos x = -sin x; ∫ cos x dx = sin x + C. Sonderwerte: cos 0 = 1, cos π/2 = 0, cos π = −1.

Verwendung: Die Kosinusfunktion ist grundlegend in der Trigonometrie, in Fourierreihen, Signalverarbeitung und in Rotationen im zweidimensionalen Raum. Sie wird oft zusammen mit der Sinusfunktion verwendet und bildet mit ihr das Grundpaar der Kreisfunktionen. In der Praxis wird cos x häufig in Anwendungen mit Bezug zu Winkeln gemessen, die in Radianten angegeben werden. Die Umkehrfunktion ist der Kosinus, arccos, definiert auf dem Intervall [-1, 1] mit Werten im Intervall [0, π].