Exponentialdarstellung

Die Exponentialdarstellung ist in der Mathematik die Darstellung komplexer Zahlen in Form z = r e^{iϑ}, wobei r ≥ 0 der Betrag von z ist und ϑ das Argument von z, also der Winkel in der komplexen Ebene. Diese Darstellung nutzt die Euler-Formel e^{iϑ} = cos ϑ + i sin ϑ.

Die Parameter r und ϑ erhält man aus z = a + ib mit a, b reell durch r = √(a^2 + b^2) und ϑ = Arg(z) = atan2(b, a). Der Wert ϑ ist eindeutig bis auf eine zusätzliche 2πk; das Exponential stellt jeden z mit unendlich vielen ϑ-Werten dar: z = r e^{i(ϑ + 2πk)}.

Für reelle Zahlen spielt die Exponentialfunktion eine zentrale Rolle: Jede positive Zahl x lässt sich schreiben als x = e^{ln x}. Reelle Zahlen ≤ 0 haben in dieser Form keine reelle Darstellung, in der komplexen Ebene erhält man jedoch durch die komplexe Logarithmusfunktion alternative Darstellungen.

Anwendungen: Die Exponentialdarstellung vereinfacht Multiplikation und Division von komplexen Zahlen, da z1 z2 = r1 r2 e^{i(ϑ1+ϑ2)} und z^n = r^n e^{i n ϑ) gilt. In der komplexen Analysis, Signalverarbeitung und bei Fourier- bzw. Laplace-Transformationen wird sie häufig verwendet, um Vorgänge zu vereinfachen.

Weitere Anmerkungen: Der Logarithmus einer komplexen Zahl ist mehrwertig: log z = ln r + i(ϑ + 2πk). Die Exponentialdarstellung ist eng mit der Polarform verbunden und erleichtert sowohl grafische als auch rechnerische Arbeiten.