Kompaktifikation

Kompaktifikation bezeichnet in der Mathematik den Prozess, eine nicht kompakte Struktur in eine kompakte zu überführen, oft durch das Hinzufügen von Randpunkten oder Grenzkomponenten. Das Ziel ist es, das Verhalten am Rand zu verstehen, Grenzwerte zu definieren oder ein kompaktes Modell für weitere Untersuchungen zu erhalten. Die konkrete Ausprägung hängt vom Kontext ab: Topologie, algebraische Geometrie, oder Scheme-Theorie verfolgen unterschiedliche, aber verwandte Ziele.

In der Topologie beginnt man oft mit einem lokal kompakten Hausdorff-Raum X und ergänzt ihn zu seiner One-Point-Kompaktifikation (Alexandroff-Kompaktifikation) X ∪ {∞}. Offene Mengen enthalten dann Mengen, deren Komplement in X kompakt ist. Eine weitere, universellere Variante ist die Stone-Čech-Kompaktifikation βX, die jeden stetigen Abbildungsvorschlag von X in kompakte Hausdorff-Räume eindeutig auf βX erweitert. Diese Konstruktionen unterscheiden sich darin, wie groß und „universell“ sie sind und wie sie mit Rundumbedinungen arbeiten.

In der algebraischen Geometrie bedeutet Kompaktifikation oft, eine offene Varietät U in eine kompakte Varietät X einzubetten, z. B. U in einen projektiven Abschluss zu überführen. Ein häufiger Fall ist der Projektivabschluss einer affinen Varietät, etwa A^n in P^n durch das Hinzufügen der Unendlichkeitspunkte. Wichtige theoretische Ergebnisse umfassen Nagatas Kompaktifikationstheorem, das die Existenz solcher Kompaktifikationen unter bestimmten Bedingungen sicherstellt. Randgeometrien wie Divisoren mit Normalformen spielen eine Rolle für die Güte der Kompaktifikation.

Anwendungen finden sich in der Untersuchung von Grenzverhalten, Moduli spaces, Hodge-Theorie sowie in der Physik, wo Kompaktifikationen von zusätzlichen Dimensionen in der Stringtheorie eine zentrale Rolle spielen.