Kommutaatioiden

Kommutaatioiden käsite viittaa tilaan, jossa kahden olion, kuten kahden operaation tai kahden elementin, tulos ei vaihda järjestystä. Kun A ja B toteuttavat saman rakenteen sekä A∘B että B∘A ja ne ovat sama olio, sanotaan että ne kommutoivat. Kommutaatio on riippuvainen rakenteesta: joissakin algebran ja analyysin Kohdissa tulo ja lisäys ovat kommutatiivisia, kun taas toiset operaatiot eivät ole.

Esimerkiksi luvut ylläpitävät kommutatiivisuutta: a·b = b·a jokaiselle a ja b. Matriisimaailmassa tilanne on toinen. Yleensä matriisit eivät kommutoi; osoituksena voi käyttää A = [[1,0],[0,2]] ja B = [[0,1],[0,0]]. Tällöin AB = [[0,1],[0,0]] ja BA = [[0,0],[0,0]], joiden tulokset eroavat, joten A ja B eivät kommutoi. Eri rakenteissa kommutaatioiden määritelmä voidaan yleensä soveltaa yhtä vähän kuin toiseen: AB tarkoittaa A:n ja B:n kumulatiivista vaikutusta.

Kommutaatioiden mittaamisessa käytetään kommutattorin käsitettä [A,B] = AB − BA. Jos [A,B] = 0, A ja B kommutoivat. Tämä käsite on keskeinen Lie-algeiboissa ja fyysisessä teoriassa, missä esimerkiksi kvanttimekaniikassa kanoninen kommutaatio [x,p] = iħ on perusrelaatio. Kommutaatioilla on myös käytännön vaikutuksia: jos useat operaatiot kommutoivat keskenään, ne voidaan usein kuvata samaan perusbasisin ja/tai löytää yhteinen ominaisarvoyhdeys.

Käytännössä kommutaatioiden tutkiminen valaisee, millaisia rakenteellisia rajoitteita ja mahdollisuuksia erilaiset järjestelmät asettavat ja miten niiden toiminnot voivat tulla yhteensopiviksi.