KerrLösung

Die Kerr-Lösung (auch Kerr-Metrik) ist eine exakte Lösung der Einstein-Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie im Vakuum, die einen rotierenden ungeladenen Schwarzen Loch beschreibt. Sie wurde 1963 von Roy Kerr gefunden und gehört zu den wichtigsten Lösungen der Gravitationstheorie. Die Lösung ist stationär und achsensymmetrisch, asymptotisch flach und charakterisiert den Einfluss der Rotation durch Frame-Dragging.

In geometrisierten Einheiten G = c = 1 wird die Kerr-Metrik üblicherweise in Boyer-Lindquist-Koordinaten (t, r, θ, φ) angegeben. Die Metrik lautet

ds^2 = - (Δ/Σ) (dt - a sin^2θ dφ)^2 + (Σ/Δ) dr^2 + Σ dθ^2 + (sin^2θ / Σ) [(r^2 + a^2) dφ - a dt]^2,

mit Δ = r^2 - 2 M r + a^2 und Σ = r^2 + a^2 cos^2 θ. Hierbei ist M die Masse des Lochs und a = J/M die per-Masse-Drehachse, wobei J der Gesamtdrehimpuls ist.

Horizonte und ergospärische Eigenschaften: Die Ereignishorizonte liegen bei r± = M ± sqrt(M^2 - a^2) (vorausgesetzt M^2 ≥ a^2). Die Ergosphäre wird durch g_tt = 0 bestimmt; ihre äußere Grenzfläche hängt von θ ab und lautet r_erg(θ) = M + sqrt(M^2 - a^2 cos^2 θ). Am Ring-Singularitätort Σ = 0, also bei r = 0 und θ = π/2, entsteht eine ringförmige Singularität mit Radius a im Äquator.

Spezielle Grenzfälle und Bedeutung: Für a = 0 reduziert die Kerr-Lösung auf die Schwarzschild-Metrik; für M = 0 verschwindet die Krümmung und die Lösung geht in die flache Minkowski-Metrik über. Die Kerr-Lösung dient als Modell roter Schwarzer Löcher in der Astrophysik, einschließlich Akkretionsscheiben und Jets, und ermöglicht Phänomene wie Frame-Dragging sowie theoretische Energiegewinnung über den Penrose-Prozess. Erweiterungen schließen die Kerr-Newman-Lösung (mit elektrische Ladung) ein.