Kardinaliteetteja

Kardinaliteetteja ovat matematiikassa joukkojen kokoluokan ilmauksia. Kardinaliteetti kuvaa, kuinka monta alkiota joukossa on. Finite-joukoilla kardinaliteetti on suoraan niiden alkioiden määrä; äärettömillä joukoilla kardinaliteetit voivat olla suurempia tai pienempiä toisiinsa. Kaksi joukkoa ovat sama-kardinaliteettisia, jos niiden välillä on bijektio eli yksi‑yhteen vastine.

Esimerkkejä: luonnolliset luvut N, kokonaisluvut Z ja rationaaliluvut Q ovat sama kardinaliteetti, jota merkitään aleph-0:ksi (aleph_0). Reaalilukujen joukko R puolestaan saa suuremman kardinaliteetin, jota kutsutaan continuumiksi ja merkitään usein c; se on aleph_0:n jälkeinen suurempi kardinaliteetti. Cantorin todistus osoittaa, ettei ole bijekti luonnollisten lukujen ja reaalilukujen välillä, joten R on epäluettavissa luettava (epäluettavissa) ja sen kardinaliteetti on suurempi kuin aleph_0. 2^{aleph_0} on toteutuneen realikirjoituksen kardinaliteetti, eli sama kuin continuum.

Alef-kardinaliteetit ja continuum-hypoteesi (CH) käsittelevät suuria äärettömiä. CH väittää, että 2^{aleph_0} = aleph_1. CH on riippumaton ZFC-aksiomien joukosta, mikä tarkoittaa, että sekä CH:n hyväksyminen että sen hylkääminen ovat mahdollisia konsistentteja ZFC:n kanssa.

Kardinalilaskenta käsittelee summia, tuloja ja potenssienergioita äärettömien kardinaliteettien kanssa. Jos κ ja λ ovat äärettömiä kardinaliteetteja, pätee yleensä κ + λ = max(κ, λ) ja κ · λ = max(κ, λ). Eksponentiaali-seurauksia on monia: κ^λ voi olla suurempi kuin κ, ja erityisesti 2^{κ} > κ. Cantor-Bernstein-Schroederin lauseen mukaan, jos |A| ≤ |B| ja |B| ≤ |A|, niin |A| = |B|.