Kantenanzahl

Kantenanzahl ist ein Begriff aus der Geometrie und Graphentheorie und bezeichnet die Anzahl der Kanten eines Objekts. Sie gibt an, wie viele Verbindungen zwischen den Bausteinen vorhanden sind. In der Regel wird die Kantenanzahl mit E bezeichnet, gelegentlich auch mit m, insbesondere im Zusammenhang mit Graphen, Netzen und Polyedern.

Für Polygone entspricht die Kantenanzahl einfach der Anzahl der Seiten; bei einem n-Eck hat das Polygon n Kanten. In dreidimensionalen Objekten, sogenannten Polyedern, gilt die Kantenanzahl als E und hängt zusammen mit der Anzahl der Ecken V und Flächen F durch die Eulersche Beziehung V − E + F = 2 (für geschlossene, zusammenhängende Polyeder).

Beispiele: Ein Tetraeder hat 6 Kanten, ein Würfel (Hexaeder) 12 Kanten, ein Oktaeder ebenfalls 12 Kanten, während Dodekaeder und Ikosaeder jeweils 30 Kanten besitzen. In der Graphentheorie dient E als Maß für die Komplexität eines Graphen: E ist die Anzahl der Kanten in dem Graphen, der aus Knoten (Vertices) und Kanten besteht.

Wichtige Eigenschaften lassen sich aus der Kantenanzahl ableiten. Der Handshaking-Lemma zufolge ist die Summe der Grade aller Knoten gleich 2E, da jede Kante zwei Endpunkte verbindet. Für einfache Graphen ohne Schleifen gilt zudem E ≤ n(n−1)/2, wobei n die Anzahl der Knoten ist; in Planargraphen gilt bei n ≥ 3 zusätzlich E ≤ 3n−6.

Kantenanzahl wird in vielen Anwendungsgebieten verwendet, etwa zur Abschätzung von Materialbedarf bei polyhedronen Strukturen, in der Netzwerkanalyse, Graphenoptimierung und der Untersuchung von Struktur- und Designs in Mathematik und Informatik.