Käänteislaskettava

Käänteislaskettava on käsite, jota käytetään matematiikassa kuvaamaan olioita, joilla on käänteinen operaatio. Yleisimmin se liittyy lineaarisiin rakenteisiin kuten matriiseihin ja lineaarisiin transformaatiopintoihin: jos toiminta voidaan peruuttaa yksiselitteisesti, sitä sanotaan käänteislaskettavaksi.

Käänteislaskettava matriisi. Olkoon A n×n-matriisi yli kentän. A on käänteislaskettava, jos sille löytyy toinen matriisi A^{-1} siten, että A A^{-1} = A^{-1} A = I. Tämä on yhtä kuin det(A) ≠ 0, tai toisin sanoen Alla on täysi pivottiarvo ja sen rivit (tai sarakkeet) muodostavat täydellisen perusjoukon. Käänteislaskettavuus eli ei-singulaarisuus on lineaarisen transformaation kannalta samaa kuin bijektiivisyys: T: V→V on käänteislaskettava, jos ja vain jos se on bijektiivinen, jolloin sillä on käänteinen transformaation T^{-1}.

Ominaisuuksia ja merkintöjä. Jos matriisi on käänteislaskettava, sen käänteisellä on ainutkertainen vastaus. Käänteislaskettavuutta voi tarkastella useilla tavoilla: det(A) ≠ 0; rank(A) = n; Ax = b ratkaisee jokaiselle b:lle täsmällisesti yksi x; kolmen rivin yksiköysti ja sarakkeet muodostavat perusjoukon. Käänteismatriisin laskeminen voidaan tehdä Gaussin eliminationin, LU-dekompositionin tai adjugaatin ja determinantteorin kautta. Joidenkin sovellusten yhteydessä käytetään myös nopeasti käänteisiä muodostavia ominaisuuksia, kuten pienlukuisten muuttujien korjaus- ja optimointialgoritmeissa.

Rajat ja laajuus. Käänteislaskettavuus määritellään kentän ulkopuolella; renkaissa ja muissa alkeisrakenteissa invertiivisyys edellyttää, että käänteinen elementti on olemassa ja että kyseessä on yksikäsitteinen vastinobjekti. Esimerkkinä singulari matriisi (det = 0) ei ole käänteislaskettava.

Käytännön merkitys. Invertiivisistä objek—matriiseista ja transformaatiosta riippuu järjestelmien ratkaiseminen, säteittäminen ja grafiikka sekä monien lineaaristen mallien olemassaolo ja stabiilius.