Käänteislaskettavuutta

Käänteislaskettavuus on matemaattinen käsite, joka kuvaa sitä, voidaanko toiminta tai muutos peruuttaa. Olipa kyse lineaarisesta transformaatiosta, neliömäisestä matriisista tai funktiosta, käänteislaskettavuus tarkoittaa, että on olemassa vastinoperaatio, jolla alkuperäinen tulos voidaan palauttaa.

Lineaarialgebran kontekstissa neliömatriisi A on käänteislaskettava, jos sillä on käänteismatriisi A^{-1} täyttämään AA^{-1} = A^{-1}A = I. Tällöin ratkaisut Ax = b voidaan kirjoittaa x = A^{-1}b. Käänteismatriisi on ainutlaatuinen. Ehto, jota usein käytetään, on det(A) ≠ 0 tai matriisin rangin ollessa täysi. Käytännössä käänteellisyys voidaan todentaa Gaussin eliminoinnilla tai L U -skeemeillä; numeerisessa laskennassa on usein parempi ratkaista järjestelmä faktorisoinnilla kuin laskea erikseen A^{-1}.

Funktioiden ja yleisten transformaatioden kontekstissa käänteislaskettavuus tarkoittaa bijektiivisyyttä: funktio f on käännettävä, jos sille on olemassa käänteinen funktio f^{-1}, jolle pätee f^{-1}(f(x)) = x ja f(f^{-1}(y)) = y. Yleisillä alueilla monotoniikka ja jatkuvuus voivat varmistaa käänteisyyden, mutta vastaavuus riippuu määrittelyalueesta.

Käytännössä käänteislaskettavuus merkitsee usein, että alkuperäisen tilan tiedot säilyvät ja voidaan palauttaa. Se on tärkeää lineaarisessa ratkaisussa, kontrollissa ja monissa muissa sovelluksissa. Epäinvertiblejä tapauksia esiintyy, kun determinant on nolla tai funktio ei ole bijektio, jolloin vastin funktion tai matriisin ei ole olemassa.