Johdonmukaisuudesta

Johdonmukaisuudesta tarkoitetaan tilaa, jossa ei ole ristiriitoja. Teoriassa tämä merkitsee, ettei joukosta axiomien ja johtopäätösten kautta voi johtaa sekä lauseketta φ että sen negatiota ¬φ. Syntaktinen johdonmukaisuus liittyy siihen, mitä voidaan johtaa pelkän logiikan keinoin, kun taas semanttinen johdonmukaisuus tarkoittaa sitä, että axiomijoukko voidaan tyydyttää eli sille löytyy malli, jossa kaikki lauseet pitävät paikkansa.

Käytännössä erottelu syntaktinen vs semanttinen on tärkeä: ensimmäisen kertaluvun logiikassa näiden näkemysten välillä on tiukka yhteys. Jos teoriasta löytyy malli, teoria on johdonmukainen; ja jos teoria on johdonmukainen, se on tyydyttävissä ( sillä on vähintään yksi malli). Tämän seurauksena johdonmukaisuutta pidetään usein rakennelman oikeudenmukaisuutena: ei voi todeta sisäisesti epävarmuutta, joka rikkoi perusperiaatteet.

Gödelin epätäydellisyysteoremat tuovat rajoituksia: suurten muodollisten järjestelmien, kuten ilmeisesti aritmetiikan, ei voi todistaa omaa johdonmukaisuuttaan. Toisen epätäydellisyysteoreeman mukaan todistus omaa johdonmukaisuutta vaatisi vahvempaa järjestelmää. Tämä johtaa käsitteeseen relativedusta: johdonmukaisuutta voidaan osoittaa suhteellisesti, jos on malli tai todistusta vahvemmasta teoriasta.

Sovelluksissa johdonmukaisuutta tähdätään varmistamaan matematiikassa, logiikassa ja tietotekniikassa. Axiomatisaatio, todistustyökalut ja muodolliset vahvistimet (esim. ohjelmistodistukset) pyrkivät ehkäisemään ristiriitoja, jotta järjestelmät pysyvät johdonmukaisina. Joissakin parassistenttisissa logiikoissa tutkitaan myös niiden mahdollisuuksia käsitellä ristiriitoja ilman loogista räjähdystä, mikä poikkeaa tavallisesta johdonmukaisuuden käsitteestä.