Järjestelmäyhtälöt

Järjestelmäyhtälöt ovat kokoelma kahden tai useamman yhtälön joukko, jotka sisältävät useita tuntemattomia muuttujia. Tavoitteena on löytää muuttujien arvot, jotka toteuttavat samanaikaisesti kaikki järjestelmän yhtälöt. Yksinkertaisin esimerkki on kahden lineaariyhtälön järjestelmä, jossa on kaksi tuntematonta.

Järjestelmäyhtälöitä voidaan ratkaista useilla eri menetelmillä. Yleisiä menetelmiä ovat sijoitusmenetelmä, yhteenlaskumenetelmä ja matriisimenetelmät. Sijoitusmenetelmässä yhdestä yhtälöstä ratkaistaan yksi muuttuja toisen muuttujan suhteen ja sijoitetaan tämä lauseke toiseen yhtälöön. Yhteenlaskumenetelmässä yhtälöitä kerrotaan sopivilla luvuilla ja lasketaan ne yhteen niin, että yksi muuttujista eliminoituu. Matriisimenetelmät, kuten Gaussin eliminaatio, ovat tehokkaita erityisesti suurten lineaariyhtälöryhmien ratkaisemisessa.

Järjestelmäyhtälöillä on sovelluksia monilla tieteen ja tekniikan aloilla. Niitä käytetään esimerkiksi fysiikassa kuvaamaan fysikaalisia prosesseja, taloustieteessä mallintamaan markkinoiden käyttäytymistä, tietojenkäsittelytieteessä algoritmien analysoinnissa ja insinööritieteissä esimerkiksi rakenteiden suunnittelussa. Järjestelmäyhtälöiden ratkaisemisen ainutlaatuisuus tai olemassaolo riippuu yhtälöiden määrästä ja muuttujista sekä niiden rakenteesta. Joissakin tapauksissa järjestelmällä voi olla yksi ratkaisu, äärettömän monta ratkaisua tai ei lainkaan ratkaisua.