Izometriami

Izometriami (izometrie) w matematyce nazywamy przekształcenia przestrzeni metrycznej X w X (lub między X i Y), które zachowują odległości: dla wszystkich x i y w X d(f(x), f(y)) = d(x, y). Gdy f jest izometrią między X a Y, mówimy o izometrii między tymi przestrzeniami; gdy X = Y, mówimy o izometrii w X. Izometrie są wrodzonymi odwzorowaniami zachowującymi odległości i mają odwrotność będącą również izometrią (w przypadku izometrii na X→X).

W przestrzeniach euklidesowych izometrie to ruchy sztywne: translacje, rotacje i odbicia, a także ich kompozycje. W R^n każdą izometrię można przedstawić w postaci f(x) = Ax + b, gdzie A jest macierzą ortogonalną (A^T A = I), a b wektorem. Jeśli det(A) = 1, ruch jest orientacyjnie zachowujący (translacje i rotacje); jeśli det(A) = −1, ma odwróconą orientację (odbicia). W R^2 translacje przesuwają wszystkie punkty o ten sam wektor, rotacje obrócą cały obraz wokół punktu, a odbicia odbijają względem prostej.

W ogólnych przestrzeniach metrycznych izometrie to funkcje zachowujące dystans między punktami; tworzą grupę izometrii pod składaniem, zwaną grupą izometrii przestrzeni. Znaczenie izometrii polega na badaniu symetrii i geometrii sztywnej bez odniesienia do układu współrzędnych.