Iteració

Iteració és el procés de repetir una acció o un conjunt d’accions amb l’objectiu d’augmentar l’aproximació, adaptar-se a noves dades o obtenir un resultat estable. En matemàtiques i informàtica, l’iteració implica aplicar repetidament una operació o una funció a un valor, actualitzant la seva entrada en cada pas. Es defineix sovint per una recurrència del tipus x_{n+1} = f(x_n). Si la seqüència {x_n} convergeix a un valor, diem que l’iteració convergeix.

La convergència depèn de propietats de la funció i del domini. Un cas important és el teorema del punt fix de Banach, que assegura la convergència quan la funció és contractant. En aplicacions numèriques, hi ha mètodes iteratius per resoldre equacions no lineals o estimar valors propis, com el mètode de Newton o l’índex de potència.

En informàtica, l’iteració és essencial en les estructures de control com bucles que repeteixen instruccions fins a una condició de tall. Aquestes tècniques són alternatives la recursió i permeten dissenyar algorismes que milloren progressivament una solució o es conformen amb recursos limitats.

En estadística i aprenentatge automàtic, els algorismes iteratius com l’EM, el descens de gradient o les relaxacions resolen problemes ajustant paràmetres gradualment fins a la convergència.

La iteració és fonamental en càlcul numèric, disseny d’algorismes i ressolució de problemes d’optimització. Pot fallar si no convergeix o si divergeix, en aquest cas s’analitzen criteris de tall,errors i estabilitat per corregir-ne el comportament.