Isomorfisuus

Isomorfisuus on kahden matemaattisen rakenteen välinen suhde, joka ilmaisee, että rakenteet ovat käytännössä samaa rakennetta erilaisten ilmentymien alla. Suhde määritellään usein bijektiivisen funktion avulla: olioiden A ja B välillä on isomorfismi f: A → B, jos f on bijektio ja säilyttää rakenteen perusoperaatioita tai suhteita. Toisin sanoen f on homomorfismi ja sen käänteinen funktio on myös homomorfismi. Tällöin A ja B ovat isomorfisia.

Esimerkkejä eri alueilla. Ryhmitten osalta kaksi ryhmää G ja H ovat isomorfisia, jos on bijektio f: G → H, jolla f(xy) = f(x) f(y) kaikille x, y ∈ G. Vektoriavaruuksien osalta kaikki n‑ulotteiset vektoriavaruudet saman kentän yli ovat isomorfisia; tällöin on olemassa isomorfismi vektoriavaruuksien välillä. Graafeissa kaksi graafia A ja B ovat isomorfisia, jos on bijektiivinen solmujen vastaavuus φ: V(A) → V(B), joka säilyttää reunat: jos (u, v) on A:ssa, niin (φ(u), φ(v)) on B:ssä. Automorfismi on isomorfismi olioon itsessään, eli kuvaa rakenteen symmetrioita.

Isomorfisuus johtaa isomorfisuusluokkiin: kaikki saman isomorfisuusluokan jäsenet ovat isomorfisia toisillensa. Luokat voidaan myös puhua isomorfisuussuhteena, jossa kahdet olio ovat samanlaisi kuin toiset. Kategorian näkökulmasta isomorfismi on morphismi, jolla on käänteinen morphismi; tällöin siitä on kyse invertible-morfismista. Isomorfisuuden käsite on keskeinen rakenteiden luokittelussa ja vertailussa.