vektoriavaruudet

Vektoriavaruudet ovat matemaattinen rakenne, jossa on joukko vektoreita V sekä kenttä F, jonka luvut määrittävät skaalaukset. Opeina ovat vektorin yhteenlasku +: V × V → V ja skaalari-kertolasku ·: F × V → V. Näiden on täytettävä aksioomat: lisäyksen on oltava assosiatiivista ja commutatiivista; on olemassa nollavektori 0 ∈ V siten, että v + 0 = v kaikille v ∈ V; jokaisella v ∈ V on vastinluku −v ∈ V siten, että v + (−v) = 0. Skaalaukset on oltava distributiivisia ja (ab)·v = a·(b·v), a·(u+v) = a·u + a·v sekä (a+b)·v = a·v + b·v sekä 1·v = v. Kenttä F voi olla reaaliluvut, kompleksiluvut tai mikä tahansa muu kenttä.

Alijoukko W ⊆ V on vektoriavaruus, jos se on suljettu sekä lisäyksen että skaalauksen suhteen ja sisältää nollavektorin. Lineaarinen riippumattomuus ja kanta: joukko B on lineaarisesti riippumaton, ja jos B:n lineaariset yhdistelmät kattavat V, B on kanta. Dimensio on kannan koko. Esimerkkejä: R^n tavallisella lisäyksellä ja kertolaskulla; polynomien tilat tai funktionaaliset tilat.

Lineaariset kartat f: V → W säilyttävät sekä lisäyksen että skaalauksen. Ydin ja kuva sekä rank-nullity-laki kuvaavat näiden ominaisuuksia. Dualinen avaruus V* koostuu kaikista V:n lineaarisista funktionaaleista, ja finiten-dimensionalisissa avaruuksissa dim(V*) = dim(V).

Vektoriavaruudet muodostavat perusrakenteen lineaarisessa algebrassa ja sen sovelluksissa, kuten lineaaristen järjestelmien ratkaisemisessa, geometriassa ja analyyseissä.