Vektoriavaruuksien

Vektoriavaruuksien käsite viittaa matemaattiseen rakenteeseen, jossa on joukko V sekä kaksi operaatioita: vektorin yhteenlasku ja skalaarilla kertominen. Näille operaatioille asetetut aksioomat takaavat lineaarisen rakenteen: sulkeutuvuus sekä olemassaolo nollavektorille ja jokaiselle vektorille additiivinen käänteinen, sekä associativiteetti ja distributiivisuus. Vektoriavaruus määritellään yleisesti kentän F yli; esimerkkeinä ovat reaali- ja kompleksiluvut sekä tilat kuten R^n tai polynomien ja funktioiden tilat.

Esimerkkejä vektoriavaruuksista ovat R^n, polynomien tilat sekä funktionaalisten tilojen ja matriisien tilat. Näitä tiloja käytetään laajalti sekä teoriassa että sovelluksissa, joissa lineaarisuus tarjoaa hallittavuutta ja yksinkertaisia malleja.

Alavaruudet (subspaces) ovat ei-tyhjiä alijoukkoja V:stä, jotka ovat edelleen vektoriavaruuden omaa rakennetta: ne ovat sulkeutuvia yhteenlaskun ja skalaarikertolaskun suhteen. Lineaarinen riippuvuus kuvaa, kun joukko vektoreita voidaan esittää lineaarisena yhdistelmänä muista vektoreista. Basis on lineaarisesti itsenäinen joukko, jonka lineaariset yhdistelmät tuottavat koko avaruuden; dimensio on tämän basisin koko. R^n on n-ulotteinen avaruus. Isomorfia kertoo kahden vektoriavaruuden olevan rakenteellisesti samaa lajia, jos niiden välillä on bijektiivinen lineaarinen kartta.

Vektoriavaruudet ovat keskeinen käsite lineaarisessa algebrassa ja niiden ominaisuuksia käytetään laajasti geometriassa, analyysissä sekä lukuisissa sovelluksissa kuten grafiikassa, fysiikassa ja tietojenkäsittelyssä.