sulkeutuvuus

Sulkeutuvuus on matemaattinen ominaisuus, jolla tarkoitetaan, että jokin joukko säilyttää rakenteensa tietyn operaation alaisuudessa. Käytännössä joukko S on sulkeutuva jonkin binäärin operaation ∘ suhteen silloin, kun kaikilla a ja b kuuluvat S, tulos a ∘ b kuuluu myös S. Vastaavasti, jos funktio f karttaa joukon S takaisin itseensä, eli f(S) ⊆ S, puhutaan myös sulkeutuvuudesta tämän funktion suhteen.

Sulkueutuva ominaisuus on yleinen käsitteistö algebrassa ja sen sovelluksissa. Sitä käytetään muun muassa määrittelemään alijoukkoja sekä rakenteita kuten ryhmiä, renkaita ja monia muita algebrallisia kokonaisuuksia. Jos joukko on sulkeutuva, voidaan sen elementteihin rakentaa operaatioita ja muodostaa pienemmistä osista suurempia rakenteita, säilyttäen alkuperäisen toiminnan ominaisuudet.

Esimerkkejä sulkeutuvuudesta:

- Z (murtolukujen kokonaisluvut) on sulkeutuva yhteen- ja kertolaskun alaisuudessa, since kaikilla a,b ∈ Z, sekä a+b että a·b ovat Z:ssä.

- Q on sulkeutuva sekä yhteen että kertolaskuun, joten rationaalilukujen joukko muodostaa ringin näillä operaatioilla.

- N (luvuista koostuva naturaalilukujen joukko) ei ole sulkeutuva vähennysoperaation alaisuudessa, koska esimerkki 3−5 ei kuulu N:iin.

Sulkeutuvuus on keskeinen, kun määritellään ali- ja algebrallisia rakenteita sekä kun tutkitaan, säilyykö jokin ominaisuus operaatioita käytettäessä. Se on peruskäsite monissa matematiikan osa-alueissa.